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a的伴随矩阵怎么求,及其求法步骤

有趣生活2024-06-11 05:02:3230

a的伴随矩阵

伴随矩阵,也称为余因子矩阵,是一个正方形矩阵,其元素是由原始矩阵的各个元素的余因子组成的。对一个 n×n 矩阵 A,其伴随矩阵 Adj(A) 定义为:

a的伴随矩阵怎么求,及其求法步骤

$$ Adj(A) = C^{T} $$

其中,C 是 A 的余因子矩阵,T 表示转置。

求解伴随矩阵的步骤

要求解一个 n×n 矩阵 A 的伴随矩阵,可以遵循以下步骤:

1. **计算余因子:** 对于 A 的每个元素 a_ij,计算其余因子 C_ij,该余因子是 A 中删除第 i 行和第 j 列后剩下的子矩阵的行列式,乘以 (-1)^(i+j)。

2. **组装余因子矩阵:** 将每个余因子 C_ij 放入其在 A 中对应的行和列中,形成余因子矩阵 C。

3. **转置余因子矩阵:** 将余因子矩阵 C 转置,得到伴随矩阵 Adj(A)。

示例

对于一个 2×2 矩阵 A =

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$

其余因子为:

$$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 4 $$

$$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -3 $$

$$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = -2 $$

$$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1 $$

余因子矩阵为:

$$C = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\\ -2 & 1 \end{bmatrix}$$

伴随矩阵为:

$$Adj(A) = C^{T} = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\\ -3 & 1 \end{bmatrix}$$

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